斐波那契数列问题的非递归实现

问题引入

有一对兔子,从出生后第3个月起每个月都生一对兔子,小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子,假如兔子都不死,问每个月的兔子对数为多少?

程序分析

兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21 … ,属于斐波那契数列问题。该数列有一个规律: F(0) = 1 , F(1) = 1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)(n>=2) …

由此可以用递归的方法实现,这样写出的代码比较简洁.

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public class Prog1 {
public static void main(String[] args) {
int n = 50;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
System.out.println("After " + i + " mouths, the number of rabbit is " + fun2(i));
}
}

public static long fun2(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return 1;
else {
return fun(n-1) + fun(n-2);
}
}
}

这样的递归算法虽然只有简单的几行,但是效率却很低。为什么呢?我们可以分析其递归调用的时间复杂度:

时间复杂度 —– O(2^N)

由于使用递归时,其执行步骤是:要得到后一个数之前必须先计算出之前的两个数,即在每个递归调用时都会触发另外两个递归调用,例如:要得到F(10)之前得先得到F(9)、F(8),那么得到F(9)之前得先得到F(8)、F(7)……如此递归下去 。

这样的计算是以 2 的次方在增长的。

除此之外,我们也可以看到,F(8)和F(7)的值都被多次计算,如果递归的深度越深,那么F(8)和F(7)的值会被计算更多次,但是这样计算的结果都是一样的,除了其中之一外,其余的都是浪费,可想而知,这样的开销是非常恐怖的 。

所以,如果在时间复杂度和空间复杂度都有要求的话,我们可以用以下的非递归算法来实现。

非递归算法

时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1)

思路:借助两个变量 first 和 second ,每次将 first 和 second 相加后赋给 third ,再将 second 赋给 first ,third 赋给 second,如此循环。

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public class Prog1 {
public static void main(String[] args) {
int n = 50;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
System.out.println("After " + i + " mouths, the number of rabbit is " + fun2(i));
}
}

public static long fun(int n) {
long first = 0;
long second = 1;
long third = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
third = first + second;
first = second;
second = third;
}
return third;
}
}